Abstract de la publi numéro 9074

Le problème considéré est celui du contrôle optimal des transferts orbitaux (problème proposé par le Centre National d'\'Etudes Spatiales). Le modèle retenu est l'équation de Kepler contrôlée, la loi de commande étant la poussée d'un satellite en orbite autour de la Terre. Les contributions concernent la résolution numérique du problème à consommation minimale. \`A cause de la convexité, mais de la non stricte convexité, du hamiltonien par rapport au contrôle, le contrôle optimal est bang-bang. Les difficultés pour la résolution numérique par la méthode de tir sont résolues par une approche homotopique. L'idée principale est de définir une famille de problèmes qui dépend d'un paramètre $\lambda\in[0,1]$. Ainsi, nous connectons, pour $\lambda=0$, le problème simple de la minimisation de l'énergie (le carré de la norme $L^2$ du contrôle) à notre problème de minimisation de la consommation (norme $L^1$ du contrôle) pour $\lambda=1$. Les fonctions de tir associées à cette famille de problèmes nous définissent alors une homotopie $S(z,\lambda)$. Pour suivre le chemin de zéros de cette homotopie nous avons étudié les algorithmes de prédiction--correction et les algorithmes simpliciaux. Ces méthodes homotopiques nous fournissent un excellent point de départ pour résoudre le problème en $\lambda=1$ via un algorithme de type Newton. Mais, pour résoudre précisément notre problème de minimisation de la consommation, il est nécessaire de détecter finement les commutations et la dérivée de la fonction de tir. Un nouveau schéma pour calculer ces commutations est proposé qui permet d'améliorer la conservation du hamiltonien, la précision de l'évaluation de la fonction de tir, ainsi que que la convergence de la méthode de tir. Enfin, des premiers résultats numériques sont présentés sur les conditions du deuxième ordre basées sur la notion de points conjugués.